"баъзи масалаларга векторларнинг татбиқлари"

Баъзи масалаларга векторларнинг татбиқлари

Умаров Х.Р., ўқитувчи

Раҳматуллаева Г.Х., талаба

Гулистон давлат университети, Гулистон, Ўзбекистон

[email protected]

Мактаб ўқувчилари векторлар мавзусини қийин ўзлаштириши, векторларга ишончсизлик билан қарашлари яхши маълум. Агар мураккаб масалаларга векторларни тадбиқ қилишни ўргансалар, бу ҳолат ўз–ўзидан ўтиб кетади деб ўйлаймиз. Шу мақсадда, қуйидаги масалаларни векторлар ёрдамида ечиб кўрсатамиз.

1-масала. Агар , ва ихтиёрий учбурчакнинг ички бурчаклари

бўлса, у ҳолда қуйидаги

(1)

тенгсизликни исботланг.

Исбот. Текисликда битта нуқтадан чиқувчи , , бирлик векторларни оламиз. Улар ораларидаги бурчаклар , ва бўлсин. Ушбу тенгсизлик ўринли бўлиши аён. Бунга кўра

,

,

.

Охирги тенгсизликдан (1) тенгсизлик келиб чиқади.

2-масала. Агар , ва ихтиёрий учбурчакнинг ички бурчаклари бўлса, у ҳолда қуйидаги

(2)

тенгсизликни исботланг.

Исбот. Текисликда битта нуқтадан чиқувчи , , бирлик векторларни оламиз. Улар ораларидаги бурчаклар , ва бўлсин. У ҳолда ушбу

тенгсизликка кўра

,

.

Охирги тенгсизликдан (2) келиб чиқади.

1-натижа. Агар (2) тенгсизликка ушбу

, ва

ифодаларни қўйсак, у ҳолда тенгсизлик

ҳосил бўлади. Бу ерда , ва лар учбурчак томонларининг узунликлари бўлиб, – бу учбурчакка ташқи чизилган айлана радиуси.

3-масала. Агар учбурчакка ташқи чизилган айлана маркази ва бу учбурчак медианалари кесишган нуқтаси бўлса, ушбу

(3)

тенгликни исботланг.

Исбот. Ушбу

, ,

тенгликларни қўшсак,

келиб чиқади. Энди, учбурчак медианалари кесишиш нуқтасида нисбатда бўлинишини инобатга олиб, ушбу йиғинди нолга тенглигини кўрсатамиз:

.

Буларга мувофиқ, (3) тенглик ўринли бўлади.

2-натижа. Агар (3) тенгликни квадратга кўтарсак, ушбу

тенглик келиб чиқади. Бу тенгликдан, хусусан 1-натижадаги тенгсизлик келиб чиқади.

4-масала. Агар учбурчакка ташқи чизилган айлана маркази ва бу учбурчак баландликлари кесишган нуқтаси бўлса, ушбу

(4)

тенгликни исботланг.

Исбот. Ушбу тенглик ўринли. Демак, тенгликни исботлаш кифоя. вектор ҳам, вектор ҳам векторга перпендикулар бўлгани учун улар ўзаро параллел бўлади. Демак, бу векторлар коллинеар экан . Бу векторлар бир томонга йўналганлиги учун бўлади. нинг қийматини топиш учун ва векторлар узунликларини топамиз. Қуйидаги ифодаларни топиш қийин эмас

, .

Бу ерда орқали учбурчакка ташқи чизилган айлана радиуси ва орқали томон қаршисидаги бурчак белгиланган. Демак, экан, яъни ушбу тенглик ўринли экан.

3-натижа. (3) ва (4) тенгликлардан ушбу муҳим тенглик келиб чиқади. Бу тенгликка асосан ихтиёрий учбурчакда ташқи чизилган айлана маркази , медианалар кесишган нуқта ва баландликлар кесишган нуқта бир тўғри чизиқда ётади. Бу тўғри чизиққа Эйлер тўғри чизиғи дейилади. Бундан ташқари, ҳамиша нисбат ўринли бўлади.

4-натижа. Агар (4) тенгликни квадратга кўтарсак, ушбу

тенглик келиб чиқади.

5-масала. учбурчакнинг ва томонларида мос равишда ва нуқталар шундай олинганки, бунда

ва .

Агар ва кесмаларнинг кесишиш нуқтаси бўлса,

ва

нисбатларни топинг.

Ечиш. ва деб белгилаймиз ҳамда векторни икки хил усулда топамиз. Биринчидан

. (5)

Иккинчидан

(6)

Агар (5) ва (6) ифодаларни ўзаро тенгласак, ушбу

,

(7)

тенглик келиб чиқади. ва векторлар коллинеар бўлмаганлиги учун (7) тенглик фақат

ва

бўлгандагина бажарилади.

Бунга кўра

ва .

Изоҳ. 5-масалада тўртта нисбатдан иккитасини бериб, қолган иккитасини топишни талаб қилсак, янги масала келиб чиқади. Аслида бу масалаларнинг ечими ҳам 5-масала ечимида мужассамлашган.

6-масала. Агар учбурчакка ташқи чизилган айлана маркази ва ички чизилган айлана маркази нуқтада бўлса, у ҳолда ушбу

Эйлер формуласи ўринли бўлишини исботланг. Бу ерда ва орқали мос равишда учбурчакка ташқи ва ички чизилган айланалар радиуслари белгиланган.

Исбот. Ушбу

, , , ,

белгилашларни киритиб оламиз. вектор ҳам, вектор ҳам бурчак бисcектриссаси бўйича йўналганлиги учун улар ўзаро коллинеар, яъни

бўлади. Бунга кўра

.

Иккинчи томондан вектор ҳам, вектор ҳам бурчак бисcектриссаси бўйича йўналганлиги учун улар ўзаро коллинеар, яъни

бўлади. учун олинган иккита тенгликни бир биридан айирсак, ушбу

тенглик ҳосил бўлади. Бу ерда ва векторлар коллинеар эмаслигини ҳисобга олсак,

ва

тенгликларни оламиз. Бундан ушбу

тенглик келиб чиқади.

Агар орқали томоннинг ўртасини ва орқали томоннинг

ўртасини белгиласак, у ҳолда

ва

тенгликларни мос равишда ва векторларга скаляр кўпайтириб, ушбу

ва (8)

тенгликларни оламиз.

Энди ушбу

тенгликнинг квадратини (8) формулалардан фойдаланиб ҳисоблаймиз:

.

Бу ерда ушбу

тенгликдан фойдалансак,

Эйлер формуласи келиб чиқади.

Адабиётлар

1. А.Я.Нарманов. Аналитик геометрия, Ўзбекистон Республикаси файласуфлар миллий жамияти нашриёти, 2008 й.

2. Norjigitov X., Mirzayev Ch., O.Dushabayev. Stereometrik masalalarni yechish. O‘quv qo‘llanma. –T., 2019.

3. А.Фомин, Г.Кузнецова. Международные математические олимпиады. Издательский дом «Дрофа», Москва-1998 г.

4. S.V.Baxvalov, P.S.Modenov, A.S.Parxomenko. Analitik geometriyadan masalalar to'plami (рus tilidan tarjima). Universitet, Toshkent, 2006 y.