К истории методов решения линейных интегральных уравнений

CHIZIQLI INTEGRAL TENGLAMALARNI YECHISH USULLARI TARIXI HAQIDA

X.R.Umarov, GulDU oʻqituvchisi

Z.X.Xolboyeva, GulDU talabasi

Funksional analiz fani XX asrning boshlarida matematik analiz, algebra, geometriya fanlaridagi tushuncha va metodlarni cheksiz oʻlchamli fazolar uchun umumlashtirish natijasida paydo boʻlib, hozirgi zamon matematikasining eng ahamiyatli boʻlimlarining biri hisoblanadi. Hozirgi kunda funksional analizning gʻoya, konsepsiya, usul va tushunchalari matematikaning barcha sohalari tomonidan tan olingan. Soʻnggi yillarda differensial tenglamalar, hisoblash usullari, matematik dasturlashning talab va ehtiyojlariga javoban funksional analizning yangi chiziqli boʻlmagan tarmogʻi paydo boʻldi. Zamonaviy matematikaning bu yoʻnalishi amaliyotchilar va muhandislarning oʻsib kelayotgan ehtiyojlarining bir qismini qondiradi. Bu fanning paydo boʻlish va rivojlanishi dunyoga taniqli olimlar boʻlgan D.Gilbert, F.Riss, S.Banax, M.Freshe, A.N.Kolmogorov, S.L.Sobolev, A.N.Tixonov, S.M.Nikolskiy kabilarning nomlari bilan bogʻliq.

Hozirgi vaqtda funksional analizning integral tenglamalar nazariyasi matematikaning turli boʻlimlarida, masalan matematik fizika tenglamalari, oddiy differensial tenglamalar, mexanika va geometriya kabi boʻlimlarida keng qoʻllanilmoqda.

Integral tenglamalar nazariyasi, dastlab, matematik fizika tenglamalari, mexanika va geometriyaning amaliy mazmundagi masalalari natijasida vujudga kelgan. Nazariyaning rivojlanishi uchta bosqichda amalga oshgan. Birinchi bosqichda integral tenglamalarning xususiy hollari qaralgan. Bu bosqichda hali integral tenglamalarni yechishning umumiy usullari va mos terminologiya shakllanmagan hamda integral tenglamalar mustaqil tadqiqot fani sifatida shakllanmagan edi. Ikkinchi bosqichda integral tenglamalarning klassik nazariyasi shakllangan. Uchinchi bosqichda esa integral tenglamalar nazariyasi funksional analizning ajralmas qismiga aylandi.

Chiziqli integral tenglamalar nazariyasi haqidagi batafsil va sistematik tartibli ma’lumot keltirilgan adabiyotlar M.L.Krasnovning “Интегральные уравнения. (Введение в теорию)”, T.A.Sarimsoqovning “Funksional analiz kursi”, J.I.Abdullaev va boshqalarning “Funksional analiz va integral tenglamalar” va A.N.Kolmogorov va S.V.Fominlarning «Элементы теории функций и функционального анализа» kabilar hisoblanadi. Shuni ta’kidlab, oʻtish kerakki, A.N.Kolmogorov va S.V.Fominlarning «Элементы теории функций и функционального анализа» nomli adabiyotda chiziqli integral tenglamalar umumiy nazariyaning elementlari va integral tenglamalarga olib kelinadigan masalalar oʻrganilgan. M.L.Krasnovning “Интегральные уравнения. (Введение в теорию)” nomli adabiyotda chiziqli integral tenglamalar umumiy nazariyaning elementlariga, shuningdek Fredgolm tipiga mansub boʻlmagan va nochiziqli integral tenglamalar nazariyasiga elementlari masalalari oʻrganilgan.

Integral tenglamalarni yechishning dastlabki tajribasi Puasson va Fur’yega tegishlidir (1811). Integral tenglamalar nazariyasidagi birinchi umumiy usul – ketma-ket yaqinlashish usuli boʻlib, u dastlab Liuvill tomonidan qoʻllanilgan (1837). Keyin esa u oddiy differensial tenglamalar uchun Koshi masalasining yechimi mavjudligini isbotlash uchun, potensiallar nazariyasidagi Dirixle masalasini yechish uchun tatbiq qilingan. S.Banax esa bu metodni abstrakt funksional fazolarida qisqartirib akslantirish metodining natijasi sifatida qaragan. Simmetrik yadroli integral operatorlar haqidagi dastlabki umumiy teorema ham Liuvill tomonidan isbotlangan (1845) va bu teorema yarim asr davomida Gilbert va Shmidtgacha yagonaligicha qoldi. Volterra oʻzining klassik tadqiqotlarida (1896-1897, 1912, 1925) chiziqli algebra metodlarining analogi boʻlgan analitik metodlaridan foydalandi.

XX asr boshlarida, Volterra, Fredgolm, Gilbert va Shmidtlarning klassik ishlaridan soʻng, alohida mustaqil fan sifatida namoyon boʻldi.

Foydalanilgan adabiyotlar roʻyxati

1. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. 3-е изд. перераб., Москва, «Наука» 1984.

2. Краснов М.Л. «Интегральные уравнения. (Введение в теорию)», Главная редакция физико- математической литературы изд-ва «Наука», 1975.

3. Богатов Е.М., Мухин Р.Р. Из истории нелинейных интегральных уравнений // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2016. Т. 24, № 2. С. 77-114.