Призма

Материал урока.

Мы уже знакомились с призмами. Сегодня мы повторим основные понятия, которые связаны с ними.

Давайте вспомним, какой многогранник мы назвали призмой.

Рассмотрим два равных многоугольника A₁A₂…A_n и B₁B₂…B_n, расположенные в параллельных плоскостях. Причем расположены эти многоугольники так, чтобы равные стороны этих многоугольников, т.е. A₁A₂ и B₁B₂, A₂A₃ и B₂B₃ … A_nA₁ и BnB₁, были параллельными.

Теперь проведем отрезки A₁B₁, A₂B₂, A₃B₃…A_nB_n. В итоге, получим n четырехугольников A₁B₁B₂A₂, A₂B₂B₃A₃…A_nB_nB₁A₁.

Указанные четырехугольники являются параллелограммами. Рассмотрим например, четырехугольник A₁B₁B₂A₂. Его противоположные стороны A₁A₂ и B₁B₂ равны и параллельны по построению. Следовательно, и стороны A₁B₁ и A₂B₂ тоже равны и параллельны. Напомню, что четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом. Значит, рассматриваемый нами четырехугольник A₁B₁B₂A₂ – параллелограмм.

Построенный многогранник A₁A₂…A_nB₁B₂…B_n, называется n-угольной призмой.

Равные n-угольники называются основаниями призмы. Параллелограммы – боковыми гранями призмы. А стороны боковых граней, не являющиеся сторонами оснований призмы, называются боковыми ребрами призмы.

На рисунке, A₁A₂…A_nB₁B₂…B_n – n-угольная призма. А₁A₂…A_n и B₁B₂…B_n – основания призмы, параллелограммы A₁A₂B₂B₁,…,  A_nA₁B₁B_n– боковые грани. А стороны A₁B₁,…, A_nB_n – боковые ребра призмы. Все они равны и параллельны друг другу, как стороны параллелограммов.

Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани, например, B₁A₃, называется диагональю призмы.

Призма в зависимости от того какой многоугольник лежит в основании имеет свое название. Если в основании лежит треугольник, то призма называется треугольной. Если четырехугольник – то четырехугольной призмой. А если n-угольник, то n-угольной призмой.

Теперь узнаем, что называют высотой призмы. Выберем произвольную точку А одного из оснований и проведем через нее прямую, перпендикулярную к плоскости другого основания и пересекающую ее в точке B. Отрезок, AB называется высотой призмы.

В зависимости от того перпендикулярны ли ребра основанию, призмы можно подразделить на прямые и наклонные.

Если все боковые ребра призмы перпендикулярны к плоскостям ее оснований, то призма называется прямой. Если же боковые ребра не перпендикулярны основанию, то призма называется наклонной. На рисунке изображены примеры прямой и наклонной призм.

Обратите внимание, у прямой призмы боковые грани являются прямоугольниками, а у наклонной призмы – параллелограммы.

Прямая призма, основаниями которой являются правильные многоугольники, называется правильной.

Объединение боковых граней называется боковой поверхностью призмы, а объединение всех граней называется полной поверхностью призмы. Тогда площадью боковой поверхности призмы называется сумма площадей ее боковых граней.

 А площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех ее граней.

Это все нам известно с курса геометрии базовой школы.

Сегодня мы выведем новую формулу для вычисления площади боковой поверхности прямой призмы.

Сформулируем и докажем теорему. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

Доказательство.

Выше мы уже вспоминали, что все боковые грани прямой призмы – прямоугольники. Основания этих прямоугольников – стороны основания призмы. А высоты этих прямоугольников равны высоте призмы. Мы знаем, что площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей каждой из боковых граней, то есть в случае прямой призмы это будет сумма произведений сторон основания на высоту призмы.

Вынесем множитель р за скобки, тогда в скобках получим сумму сторон основания призмы, другими словами – в скобках мы получим периметр основания.

Тогда можно записать, что площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению высоты на периметр основания.

Решим несколько задач.

Задача. Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция с основаниями, которые равны  и . Высота призмы равна . Найти площадь боковой поверхности, если боковое ребро равно .

Решение.

Поскольку призма прямая, то воспользуемся только что доказанной формулой.

Ответ. 400 см².

Решим еще одну задачу.

Задача. В правильной треугольной призме сторона основания равна , а высота призмы равна . Вычислить площадь боковой и полной поверхности призмы.

Решение.

Поскольку по условию призма правильная, значит, она прямая. Применим только что доказанную формулу.

Запишем формулу для вычисления площади полной поверхности призмы.

Ответ. 450 см²,  см²

Решим еще одну задачу.

Задача. Доказать, что площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро.

Доказательство.

В качестве примера, мы возьмем треугольную призму, для других призм это утверждение доказывается аналогично.

Перпендикулярным сечением называется пересечение призмы и плоскости, перпендикулярной ее боковому ребру.

Для построения перпендикулярного сечения выберем, например, на ребре BB₁ произвольно точку К. В плоскости грани AA₁B₁B через точку К проведем прямую KL перпендикулярную к ребру BB₁. Эта прямая будет перпендикулярна к ребру AA₁, поскольку ребра AA₁ и BB₁ параллельны.

Теперь через точку К в плоскости грани BB₁C₁C проведем прямую КМ перпендикулярную ребру BB₁. Тогда из того, что BB₁ перпендикулярно пересекающимся прямым KL и КМ плоскости KLM следует, что BB₁ перпендикулярно плоскости KLM.

То есть построенное сечение KLM перпендикулярно боковому ребру. А значит,  это и есть перпендикулярное сечение призмы.

Тогда надо доказать, что площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметру треугольника KLM и бокового ребра BB₁.

Любая боковая грань призмы – это параллелограмм. Рассмотрим грань ABB₁A₁. КL – это высота параллелограмма ABB₁A₁. Поэтому для нахождения площади этой грани можно применить формулу:

В качестве основания мы берем сторону BB₁, так как высота проводилась к этой стороне.

Аналогично можно записать:

Запишем формулу для вычисления площади боковой поверхности. Заменим площадь каждой грани полученной формулой.

Решим еще одну задачу.

Задача. Боковое ребро наклонной четырехугольной призмы равно . Перпендикулярным сечением является ромб со стороной . Найти площадь боковой поверхности.

Решение.

Воспользуемся только что доказанным утверждением.

Решим еще одну задачу.

Задача. Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция с основаниями ,  и высотой . Найти двугранные углы при боковых ребрах призмы.

Решение.

Для определения двугранных углов, нам необходимо найти соответствующие линейные углы.

Ответ. 45°, 135°.

Подведем итоги урока.

Сегодня на уроке мы вспомнили, какая фигура называется призмой, основные элементы призмы. Виды призм. Вывели формулы для вычисления площади боковой поверхности прямой и наклонных призм. Решили несколько конкретных задач.