Задачи на движение в одном направлении

Цель занятия:

1. формирование учебно-познавательной компетенции:

обобщить теоретический материал по теме «Задачи на движение в одном направлении», рассмотреть решения типичных задач;

2. формирование математической компетенции:

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни;

3. формирование оценочной компетенции:

развивать умение оценивать свой уровень знаний и стремление его повышать.

1 этап занятия (3 минуты) – организационный момент.

Учитель сообщает тему занятия, его цель, структуру, необходимость проведения занятия. На экране появляются слайды №1,2.

2 этап занятия (6 минут)  - повторение основных теоретических знаний.

При повторении используется презентация, которая сопровождается речью учителя. Каждый новый объект слайда выводится по щелчку.

Учитель: При решении большинства задач очень удобно использовать представление данных задачи и дальнейших рассуждений в виде таблицы. (На экране слайд №3.1). Для экономии времени в задачах на движение используются обозначения скорости (V), времени (t) и расстояния(S). Как найти одну из этих величин, зная две другие? (На экране слайд №3.2). Как перевести минуты в часы? (На экране слайд №3.3). Как перевести км/ч в м/мин и наоборот? (На экране слайд №3.4). Выучить все формулы невозможно, поэтому нужно понимать, почему именно таким образом происходит перевод одних единиц в другие. Например, если за 1 час автомобиль проезжает Vкм, метров – в 1000 раз больше, а за 1минуту – в 60 раз меньше.

Учащиеся записывают формулы в тетрадь.

3 этап занятия (40 минут) – решение типичных задач.

Учитель: Рассмотрим одну из задач на движение в одном направлении.(На экране слайд №4). Давайте прочитаем задачу… А теперь составим табличку, соответствующую условию задачи. (На экране слайд №5.1). Обозначим скорость Ι автомобиля через х, тогда скорость ΙΙ автомобиля 24 и х+16. Небольшая подсказка: если это не сильно усложняет решение задачи, желательно через х обозначать именно ту величину, которую придется записывать в ответ, чтобы второпях  не ошибиться. (На экране слайды №5.2, 5.3). Заполним строчки таблицы, соответствующие расстоянию и времени. (На экране слайды5.4, 5.5). Получили дробно-рациональное уравнение. Важно помнить, что его знаменатель должен быть не равен нулю! (На экране слайд №5.6). После преобразований получаем квадратное уравнение (на экране слайды №5.7, 5.8), которое решаем с помощью формул. Чтобы не тратить «мозговые клеточки» на громоздкие вычисления, используем распределительное свойство умножения относительно сложения и свойство квадратного корня. (На экране слайд №5.9, 5.10). По смыслу задачи корень уравнения не может быть отрицательным. Значит, решая тесты, в целях экономии времени можно не высчитывать отрицательный корень. Заметив, что корень удовлетворяет условию 2∙24∙(х+16)≠0, записываем его в ответ. Ответ: 32.               

Задача 2, приведенная на слайде №6, отличается от предыдущей только тем, что указаны ограничения скорости первого автомобиля. Поэтому, если навыки решения задач у учащихся развиты слабо, то можно полностью решить эту задачу. В сильном же классе достаточно пояснить учащимся, что ограничение скорости  дано в задаче потому, что в квадратном уравнении получается 2 положительных корня. (Ответ: 52.)

Учитель: Рассмотрим задачу 3 (на экране слайд №7). Что означает фраза «за час автомобилист проезжает на 40 км больше, чем велосипедист»? Правильно, речь идет о скорости. Опять составим таблицу, соответствующую условию задачи, которая поможет нам составить уравнение для решения задачи.

Учитель вызывает к доске учащегося, который на доске заполняет таблицу: - смотрите документ.

Учитель: Обратите внимание на задачу 6 (на экране слайд №10). Чем она отличается от предыдущей? Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым! Значит, его скорость обозначаем через х, и его время будет больше! Задача решается аналогично.

 (Необходимость решения вновь зависит от состава учащихся). Ответ: 8.

Учитель: Не всегда для решения задачи достаточно одного уравнения. Задачу 7 (на экране слайд №11) мы попробуем решить с помощью системы уравнений. Так как скорость автомобиля не известна, то обозначим ее через х, а расстояние от А до С – через у, 30 мин = 1/2ч.  Получим следующие таблицы (так как задача сложнее предыдущих, их заполняет учитель): - смотрите документ

Задачу 7 нет необходимости решать со слабыми учащимися, так как непростые вычисления не прибавят им уверенности в своих силах.

Весь материал, включая задания самостоятельной работы - смотрите документ.

План-конспект занятия №1.

Тема занятия: «Задачи на движение в одном направлении».

Цель занятия:

1. формирование учебно-познавательной компетенции:

обобщить теоретический материал по теме «Задачи на движение в одном направлении», рассмотреть решения типичных задач;

1. формирование математической компетенции:

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни;

1. формирование оценочной компетенции:

развивать умение оценивать свой уровень знаний и стремление его повышать.

1 этап занятия (3 минуты) – организационный момент.

Учитель сообщает тему занятия, его цель, структуру, необходимость проведения занятия. На экране появляются слайды №1,2.

2 этап занятия (6 минут) - повторение основных теоретических знаний.

При повторении используется презентация, которая сопровождается речью учителя. Каждый новый объект слайда выводится по щелчку.

Учитель: При решении большинства задач очень удобно использовать представление данных задачи и дальнейших рассуждений в виде таблицы. (На экране слайд №3.1). Для экономии времени в задачах на движение используются обозначения скорости (V), времени (t) и расстояния(S). Как найти одну из этих величин, зная две другие? (На экране слайд №3.2). Как перевести минуты в часы? (На экране слайд №3.3). Как перевести км/ч в м/мин и наоборот? (На экране слайд №3.4). Выучить все формулы невозможно, поэтому нужно понимать, почему именно таким образом происходит перевод одних единиц в другие. Например, если за 1 час автомобиль проезжает Vкм, метров – в 1000 раз больше, а за 1минуту – в 60 раз меньше.

Учащиеся записывают формулы в тетрадь.

3 этап занятия (40 минут) – решение типичных задач.

Учитель: Рассмотрим одну из задач на движение в одном направлении.(На экране слайд №4). Давайте прочитаем задачу… А теперь составим табличку, соответствующую условию задачи. (На экране слайд №5.1). Обозначим скорость Ι автомобиля через х, тогда скорость ΙΙ автомобиля 24 и х+16. Небольшая подсказка: если это не сильно усложняет решение задачи, желательно через х обозначать именно ту величину, которую придется записывать в ответ, чтобы второпях не ошибиться. (На экране слайды №5.2, 5.3). Заполним строчки таблицы, соответствующие расстоянию и времени. (На экране слайды5.4, 5.5). Получили дробно-рациональное уравнение. Важно помнить, что его знаменатель должен быть не равен нулю! (На экране слайд №5.6). После преобразований получаем квадратное уравнение (на экране слайды №5.7, 5.8), которое решаем с помощью формул. Чтобы не тратить «мозговые клеточки» на громоздкие вычисления, используем распределительное свойство умножения относительно сложения и свойство квадратного корня. (На экране слайд №5.9, 5.10). По смыслу задачи корень уравнения не может быть отрицательным. Значит, решая тесты, в целях экономии времени можно не высчитывать отрицательный корень. Заметив, что корень удовлетворяет условию 2∙24∙(х+16)≠0, записываем его в ответ. Ответ: 32.

Задача 2, приведенная на слайде №6, отличается от предыдущей только тем, что указаны ограничения скорости первого автомобиля. Поэтому, если навыки решения задач у учащихся развиты слабо, то можно полностью решить эту задачу. В сильном же классе достаточно пояснить учащимся, что ограничение скорости дано в задаче потому, что в квадратном уравнении получается 2 положительных корня. (Ответ: 52.)

Учитель: Рассмотрим задачу 3 (на экране слайд №7). Что означает фраза «за час автомобилист проезжает на 40 км больше, чем велосипедист»? Правильно, речь идет о скорости. Опять составим таблицу, соответствующую условию задачи, которая поможет нам составить уравнение для решения задачи.

Учитель вызывает к доске учащегося, который на доске заполняет таблицу:

автомобилист велосипедист

V(км/ч) х + 40 х

t (ч) + 6 =

S (км) 75 75 Ответ: 10.

Если учащиеся успешно справляются с решением дробно-рациональных уравнений, то, в целях экономии времени, достаточно составить уравнение, не решая его.

Учитель: Следующая задача 4 (на экране слайд №8).

Учащиеся читают задачу и один из них опять на доске составляет таблицу и уравнение для решения задачи:

туда обратно

V(км/ч) х - 3 х

t (ч) = + 3

S (км) 70 70 Ответ: 10.

Учитель: Рассмотрим задачу 5 (на экране слайд №9). При составлении уравнения обратите внимание на то, что скорость Ι велосипедиста больше, значит, время его меньше. Чтобы приравнять две величины, необходимо к меньшему прибавить разницу во времени! Первым пришел к финишу тот велосипедист, скорость которого больше, то есть Ι, значит его скорость и обозначаем через х (корень уравнения сразу идет в ответ, не нужно дополнительных действий).

С помощью учащегося получаем таблицу и уравнение:

Ι ΙΙ

V(км/ч) х х - 1

t (ч) + 1 =

S (км) 240 240 Ответ: 16.

Учитель: Обратите внимание на задачу 6 (на экране слайд №10). Чем она отличается от предыдущей? Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым! Значит, его скорость обозначаем через х, и его время будет больше! Задача решается аналогично.

(Необходимость решения вновь зависит от состава учащихся). Ответ: 8.

Учитель: Не всегда для решения задачи достаточно одного уравнения. Задачу 7 (на экране слайд №11) мы попробуем решить с помощью системы уравнений. Так как скорость автомобиля не известна, то обозначим ее через х, а расстояние от А до С – через у, 30 мин = Получим следующие таблицы (так как задача сложнее предыдущих, их заполняет учитель):

автомобиль мотоциклист автомобиль мотоциклист

V(км/ч) х 90 х 90

t (ч) - = = +

S (км) у у 150 2у

Получим систему уравнений:Решим ее, умножив первое уравнение системы на -2 и сложив со вторым:

Из первого уравнения х = 4у – 300. Подставив значение х во второе уравнение и преобразовав, получим квадратное уравнение 4у² - 210у – 13500 = 0. Используя вторую формулу для нахождении дискриминанта, получим

105² + 4∙13500 = 15² ∙ 7² + 4 ∙ 15 ∙ 15 ∙ 60 = 15² ∙ (49 + 240) = 15² ∙ 17²;

. Так как у 0, то у = 90. Ответ: 90.

Обратите внимание на то, что и в этой задаче мы использовали разложение на множители для упрощения вычислений.

Задачу 7 нет необходимости решать со слабыми учащимися, так как непростые вычисления не прибавят им уверенности в своих силах.

Учитель: Рассмотрим задачу 8 (на экране слайд №12). Прежде, чем приступать к решению задачи, обратим внимание на единицы измерения и переведем км/ч в м/мин: 1,5 км/ч = Если решать задачу, используя таблицу то получим:

Ι ΙΙ

V(км/ч) х + 25 х

t (ч) t t

S (км) (x + 25)t - xt = 300 Отсюда t = 12 мин.

Для уверенности в том, что задача решена верно, всегда не помешает второй способ решения. Если вдуматься в условие задачи, то становится понятным, что 25 м/мин – это скорость удаления пешеходов друг от друга. Так как расстояние между ними должно стать 300м, то t = 300 : 25 = 12. Этот способ более прост.

Учитель: С учетом только что решенной задачи, следующая задача 9 не должна показаться сложной (на экране слайд №13). Так как мотоциклисты находятся в точках окружности, принадлежащих одному диаметру, то расстояние между ними 14 : 2 = 7 (км). Скорость сближения 21 км/ч. Тогда время сближения 7 : 21 = = 20 мин. Ответ: 20.

Учитель: Задачу 10 тоже можно решить двумя способами (на экране слайд №14). Обозначив через х время, которое был в пути второй турист, и используя таблицу, составим уравнение для решения задачи.

Ι ΙΙ

V(км/ч) 16 16 16 56

t (ч) 1,5 1,5 1 х х

S (км) 16 ∙ 1,5 + 16 + 16х = 56х

40х = 40, х = 1. Значит, второй турист был в пути 1 ч и проехал 56 км. Ответ: 56.

С более сильными учащимися можно решить и задачу 11 (на экране слайд №15). Учитель показывает решение задачи сам либо вызывает сильного учащегося к доске.

Учитель: В следующей задаче 11 в движении участвуют три велосипедиста. 2ч 20мин = 2 =ч. В условии обозначены два момента: третий велосипедист догоняет второго и третий догоняет первого. Значит, обозначив через х скорость ΙΙΙ и через t время с момента выезда ΙΙ велосипедиста, через которое ΙΙΙ догонит ΙΙ, составим таблицы:

ΙΙ ΙΙΙ Ι ΙΙΙ

V(км/ч) 10 х 15 x

t (ч) t t-1 1 + t + t – 1 +

S (км) 10t = x(t-1) 15 ∙ (t + ) = x(t + )

Получим систему уравнений: Вычтем из первого уравнения второе и выразим из первого уравнения х. Получим:

Подставив х во второе уравнение и преобразовав, получим квадратное уравнение 3t² + 13t – 30 = 0, положительный корень которого t = . Тогда х = 25. Ответ: 25.

Учитель: Прочитав следующую задачу (на экране слайд №16), с чего начнем решение? Да, с перевода м/мин в км/ч. 750м/мин = (км/ч) = 45км/ч. Теперь табличка и уравнение:

товарный скорый

V(км/ч) х х + 45

t (ч) = + 2

S (км) 180 180 Ответ: 45.

Учитель: Следующие две задачи - на движение по кругу. Рассмотрим первую из них (на экране слайд №17). Обозначив скорость второго автомобиля через х и, учитывая, что 40мин = ч, получим таблицу и уравнение:

Ι ΙΙ

V(км/ч) 80 х

t (ч)

S (км) 80 ∙ - x = 14 Ответ: 59.

Учитель: Если прочитать внимательно задачу 14 (на экране слайд №18), то мы видим, что до первой встречи мотоциклист был в пути 10 мин = , а велосипедист – 40 мин = ч. Значит, одно и то же расстояние велосипедист проезжает в 4 раза дольше. Поэтому, если скорость мотоциклиста обозначить через х, то скорость велосипедиста будет Составим таблицу и уравнение для решения задачи (к доске выходит один из учащихся):

велосипедист мотоциклист

V(км/ч) х х

t (ч)

S (км) ∙ х + 30 = х х = 80 Ответ: 80.

4 этап занятия (25 минут) – самостоятельная работа.

Учащиеся выполняют самостоятельную работу по вариантам. Всего 6 вариантов. Учитель раздает карточки с заданием.

5 этап занятия (3 минуты) – проверка учащимися ответов в задачах ( на экране слайд №19 с ответами)

6 этап занятия (3 минуты) – подведение итогов.

Учитель собирает работы учащихся, оценивает устную работу учащихся на занятии. Учащиеся, проверив правильность своих ответов в задачах, могут оценить свой уровень знаний и прикладывать усилия для его повышения.

Вариант 1 (с/р №1).

Вариант 5 (с/р №1).