Решение задач в целых числах

7 класс

1. Найти наименьшую пару натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению

7. Найти , если

15. Число 7 возвели в 19-ю степень. Полученное число вновь возвели в 19-ю степень и т.д. Возведение повторено 2011 раз. Определить последнюю цифру полученного числа.

27. Доказать, что число делится на 6 при любом натуральном .

35. Найти все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению

36. Сумма цифр двузначного числа равна 11. Если к этому числу прибавить 27, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найти это число.

38. Доказать, что произведение трех последовательных целых чисел, сложенное со вторым из них, равно кубу второго числа.

42. Если между цифрами двузначного числа вписать нуль, то полученное трехзначное число будет в 9 раз больше исходного. Найти это число.

46. Найти наименьшее натуральное число, сумма цифр которого делится на 7 и сумма цифр следующего за ним числа тоже делится на 7.

57. Найти в числе , которое кратно 24.

65. Доказать, что из любых 13 натуральных чисел можно выбрать два, разность которых делится на 11.

71. Может ли число, в записи которого участвуют 2010 цифр 3 и несколько нулей, быть полным квадратом?

74. Найти все трехзначные числа, которые уменьшаются в 13 раз при вычеркивании средней цифры.

77. Доказать, что в записи числа , есть две одинаковые цифры.

80. Решить в натуральных числах уравнение

85. Доказать, что число делится на 13.

92. Решить в целых числах уравнение

99. Найти натуральные , если

102. Решить в целых числах уравнение

105. Решить уравнение в натуральных числах.

112. При каком натуральном число вида будет простым?

115. Найти двузначное число, у которого куб суммы его цифр равен квадрату самого числа.

8 класс

3. Найти такое простое число , что тоже простое.

24. Доказать, что сумма делится на 37.

40. Сколько существует трехзначных чисел, у которых последняя цифра равна произведению двух первых цифр?

45. Доказать, что число делится на 13.

61. Доказать, что если делятся на , то делится на

73. Решить в целых числах уравнение

91. Если целое число и , то будет ли целым число

100. Решить в целых числах уравнение

127. Существуют ли натуральные числа , для которых выполняется неравенство

131. Найти четырехзначное число, которое после умножения на 9 дает число, написанное теми же цифрами, но в обратном порядке.

9 класс

2. Может ли число оканчиваться цифрой 7?

20. Решить в целых числах уравнение

27. Имеет ли решение в натуральных числах уравнение

30. Доказать, что

79. Доказать, что уравнение имеет решение в целых числах.

135. Найти четырехзначное простое число, цифры которого образуют арифметическую прогрессию.

139. Решить в целых числах уравнение

141. Доказать, что кратно 31.

10 класс

46. Трехзначное число оканчивается цифрой 5. Если эту цифру переставить на первое место и найти разность между исходным и полученным числом, то получится трехзначное число с одинаковыми цифрами. Найти это число.

47. Решить в натуральных числах уравнение

49. Решить в целых числах уравнение

50. Решить в натуральных числах уравнение

52. Решить в целых числах уравнение

75. Решить в целых числах уравнение

91. Найти все трехзначные числа, которые при делении на 11 дают полный квадрат.

102. Найти цифры если

11 класс

4. Сколько существует четырехзначных чисел – квадратов, у которых одинаковы две первые и две последние цифры?

10. Решить уравнение где

52. Найти целое число, которое обращается в квадрат как при увеличении его на 307, так и после уменьшения на 192.

89. При каких число делится нацело на 19.

97. Решить в целых числах систему уравнений

100. Доказать, что сумма квадратов семи последовательных целых чисел не является полным квадратом.

Ответы

7класс

1. Выразим переменную через

Выделим целую часть правой части:

Т.к , то натуральное число. Очевидно, что при получим наименьшую пару чисел , удовлетворяющую условию задачи.

Ответ:

7. Указание. Ввести замену

15. Определим последнюю цифру , для чего возведем 7 последовательно в степень и будем находить только последнюю цифру степени:

и т.д. И вообще,

Цифру после многоточия будем считать последнюю цифру степени.

Итак, оканчивается цифрой 3. Аналогично находим, что ( оканчивается цифрой 7, ( цифрой 3. Таким образом, нечетное число возведений в степень оканчивается цифрой 3, а четное – цифрой 7, а так как 2011 – нечетное число, то искомое число оканчивается цифрой 3.

Ответ: 3.