Методическое пособие по теме "Методы решения тригонометрических уравнений"

Методы решения тригонометрических уравнений

Квадратные тригонометрические уравнения

1 тип.

Так как уравнение содержит одноименные функции sin x, то необходимо заменить sin x = y; y  [-1; 1]. Тогда исходное уравнение принимает вид ay² + by +c = 0, а это квадратное уравнение. Далее необходимо решить квадратное уравнение и найти его решение: y₁, y₂.

Вернуться к старой переменной и решить простейшие тригонометрические уравнения: sin x = y₁ и sin x = y₂.

Аналогично решаем уравнения, содержащие другие тригонометрические функции.

Пример: sin² x + sin x – 2 = 0, заменим sin x = y, y  [-1; 1]

y² + y – 2 = 0  D = 9; y₁ = 1 y₂ = -2

Возвращаемся к старой переменной sin x = 1  x = /2 + 2n; nZ

sin x = - 2  решения нет, т.к. – 2  [-1; 1]

Решить самостоятельно:

1. 3sin²x +2sin x – 8 = 0 2) sin² 2x + sin 2x – 2 = 0 3) 2 sin²(x/3) + sin (x/3) – 6 = 0

4) 2 sin² x + sin x – 1 = 0 5) sin (x²) – 2sin (x²) + 1 = 0 6) 2cos² x – cos x – 1 = 0

7) 2cos² 3x + cos 3x – 6 = 0 8) tg² x – 3tg x – 4 = 0 9) tg² (x/4) – tg (x/4) + 1 = 0

2 тип. (1)

Так как уравнение содержит разноименные функции, то слагаемое содержащее квадрат, необходимо заменить, используя основное тригонометрическое тождество (в данном случае sin² x = 1 – cos² x). Раскрыть скобки, привести подобные слагаемые и свести уравнение (1) к первому типу квадратного тригонометрического уравнения.

Пример: 2sin² x – cos x – 1 = 0,

заменим sin² x = 1 – cos² x и уравнение примет вид 2(1 – cos² x) – cos x – 1 = 0

2 – 2cos² x – cos x – 1 = 0

Приведем подобные слагаемые и получим уравнение -2cos² x – cos x + 1 = 0

Далее решаем по схеме решения 1 типа квадратного тригонометрического уравнения, пусть cos x = y; y  [-1; 1],тогда уравнение примет вид - 2y² – y + 1 = 0  D = 9  y₁ = - 1 и y₂ = - ½.

Возврат к старой переменной и соответственно к простейшим тригонометрическим уравнения, которые имеют решения:

cos x = - 1  x =  + 2n; nZ

cos x = - ½  x ± 2/3 + 2n; nZ

Решить самостоятельно:

10) 2 cos² x - sin x + 1 = 0 11) 2 cos²(x/2) + sin (x/2) – 1 = 0 12) 4sin² 2x - cos 2x – 1 = 0

13) 2 sin² (x²) +3 cos ( x²) = 0 14) tg x = ctg x

Метод введения вспомогательного аргумента

Уравнения вида решаем способом введения вспомогательного аргумента, используя формулу (1)

Выпишем коэффициенты и , вычислим

Разделить коэффициенты уравнения на , после чего уравнение будет выглядеть которое по формуле (1) представимо в виде

 ;

(2)

Угол  находим из условия  , где угол  - угол первой координатной четверти.

В значении корня уравнения (2) заменим  его величиной.

Пример 2sin x + cos x = 2

Выпишем из уравнения a = 2 b = 1 

 ;

Вычислим угол  из условия 

Ответ:

Решить самостоятельно:

15) sin x – cos x = 1 16) sin 2x + cos 2x = 1 17) sin (x/3) + cos (x/3) = 2

18) sin 5x + cos 5x =

Однородное уравнение 1 степени

(1) поделим каждое слагаемое уравнения на cos x ≠ 0, тогда уравнение (1)

   корень уравнения находим по формуле простейшего тригонометрического уравнения:

Однородное уравнение 2 степени

(2) поделим каждое слагаемое уравнения на cos² x ≠ 0. Тогда уравнение (2) будет выглядеть,  Решаем квадратное тригонометрическое уравнение относительно тангенса.

Примеры: а) sin 2x + cos 2x = 0: cos 2x ≠ 0 б) – sin²x – 5sinx cosx + 6 cos²x = 0:cos²x ≠ 0

tg 2x + 1 = 0 - tg²x – 5 tgx + 6 = 0

tg 2x = - 1 пусть tg x = y, y – любое число

2x = - /4 + n : 2 - y² – 5 y + 6 = 0

x = -/8 + n; nZ D = 49 y₁ = - 6 y₂ = - 1

tg x = - 6  x = - arctg 6 + n; n  Z

tg x = - 1  x = - /4 + n; n  Z

Решить самостоятельно:

19) 20)

21) a 22)

23) 24)

Если в однородном уравнении 2 степени вместо нуля в правой части стоит число, то его необходимо умножить на 1, а её заменить основным тригонометрическим тождеством. Раскрыть скобки, перенести все слагаемые в левую часть и привести к стандартному виду однородности.

Пример:

Далее решаем по схеме решения однородного уравнения 2 степени и записываем ответ.

Решить самостоятельно:

25) 26)