Координаты точки и координаты вектора

Координаты точки и координаты вектора

Стереометрия – 11 класс

МБОУ «Школа № 31»

2020

Цели урока:

• Ввести понятие системы координат в пространстве.
• Выработать умение строить точку по заданным координатам и находить координаты точки, изображенной в заданной системе координат.
• Выработать умение строить вектор по координатам

Вопросы:

1. Сколькими координатами может быть задана точка на прямой?

Одной .

2. Сколькими координатами может быть задана точка в координатной плоскости?

Двумя .

Вопрос урока.

3. Сколькими координатами может быть задана точка в пространстве?

Задание прямоугольной системы координат в пространстве:

Ох – ось абсцисс

z

Оу – ось ординат

О z – ось аппликат

1

A

1

y

О

1

О y О z

A (1; 1; 1)

О z О x

О y О x

x

Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость. Получаем три координатные плоскости: (Oxy), (Oyz) и(Oxz).

Нахождение координат точек

Точка лежит

на оси

в координатной плоскости

Оху (х; у; 0)

Ох (х; 0; 0)

Оу z ( 0 ; у; z )

Ох z (х; 0 ; z )

Оу (0; у; 0)

№ 400 – устно.

О z (0; 0; z)

Координаты точек в пространстве

Решение задач.

№ 401 (а) Рассмотрим точку А (2; -3; 5)

A 3

2

z

1) A 1 : Oxy

A 1 (2; -3; 0)

A 2

A

2) A 2 : Oxz

5

A 2 (2; 0; 5)

3) A 3 : Oyz

A 3 (0; -3; 5)

у

0

A 1

Точку В рассмотреть самостоятельно.

Проверка – фронтально.

х

-3

Решение задач.

№ 401 (б) Рассмотрим точку А (2; -3; 5)

A 6

2

z

1) A 4 : Ox

A 4 (2; 0 ; 0)

A

2) A 5 : O у

5

A 5 ( 0 ; -3 ; 0 )

3) A 6 : Oz

A 5

A 6 (0; 0 ; 5)

у

0

A 4

Точку В рассмотреть самостоятельно.

Проверка – фронтально.

х

-3

Решение задач.

№ 402

z

В 1 (1; 0; 1)

B (0;0;1)

D (0;1;0)

С (0; 1; 0)

B 1 - ?

D 1 - ?

С 1 (1; 1; 0)

D 1 (1; 1; 1 )

A (0;0;0)

C - ?

у

C 1 - ?

A 1 (1;0;0)

х

Проверка

А (1; 4; 3)

С (0; 0; 3)

z

D (4; 0; 4)

В (0; 5; -3)

С

А

D

1

1

1

y

В

x

Определите координаты точек:

z

А ( 3 ; 5 ; 6 )

А

В (0; -2; -1)

D

С (0; 5; 0)

D (-3; -1; 0)

1

С

1

1

y

В

x

Координаты вектора

На каждой из положительных полуосей отложим от начала координат единичный вектор, т.е. вектор, длина которого равна единицы.

- координатные вектора

z

k

j

O

y

i

x

Разложение по координатным векторам

Любой вектор a можно разложить по координатным векторам, т.е. представить в виде

а = xi + yj + zk

Причем коэффициенты разложения x, y, z определяются единственным образом.

Определите координаты векторов:

z

ОА 1 = 1,5

ОА 2 = 2,5

ОА = 2

А 1

1

А 2

О

y

1

1

?

А

x

Определите координаты векторов:

z

ОА 1 = 1,5

ОА 2 = 2,5

ОА = 2

В 1

А 1

1

В

А 2

О

y

1

1

?

А

x

В 2

Разложите все векторы по координатным векторам

Проверяем:

Правила действий над векторами с заданными координатами

1. Равные векторы имеют равные координаты.

Пусть

, тогда

х 1 = х 2 ; у 1 = у 2 ; z 1 = z 2

Следовательно

Правила действий над векторами с заданными координатами

2. Каждая координата суммы двух (и более) векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.

Дано:

Доказать:

Следовательно

Правила действий над векторами с заданными координатами

3. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты на это число.

Дано:

α – произв.число

Доказать:

4. Каждая координата разности двух векторов равна число равна разности соответствующих координат на этих векторов.

Дано:

Доказать:

Доказательства выполнить дома.

Домашнее задание:

Доказательства двух правил

действий над векторами.

№№ 403, 404, 407

Повторить определение средней линии треугольника и теорему о средней линии треугольника.