"Kasrlarga umumiy maxraj berish" mavzusida taqdimot

ODDIY DIFFERENTSIAL TENGLAMALARNI TAQRIBIY YECHISH USULLARI. EYLER VA RUNGE-KUTTA USULLARI

REJA

1. Eyler usuli.

2. Runge-Kutta usuli.

3. Usullarning ishchi algoritmlari.

Tayanch iboralar:

• Noma`lum koeffitsientlar
• Koeffitsientlarni topish
• Eyler usuli
• Runge-Kutta usuli
• Boshlang’ich shart
• Funktsiyaning orttirmasi

Eyler usuli.

Quyidagi

(1)

birinchi tartibli differentsial tenglamaning [a,b] kesmada boshlang’ich shart x=x 0 bo`lgan hol uchun y=y 0 ni qanoatlantiruvchi yechimi topilishi lozim bo`lsin. [a,b] kesmani x 0 , x 1 , x 2 ,…, x n nuqtalar bilan n ta teng bo`lakchalarga ajratamiz; bunda ( i = 0,1,2,… n ), - qadam.

(1) tenglamani [a,b] kesmaga tegishli bo`lgan biror [x k , x k+1 ] kesmada integrallasak,

ya`ni,

(2)

Bu yerda integral ostidagi funktsiyani x=x k nuqtada boshlang’ich o`zgarmas qiymatiga teng deb qabul qilinsa, quyidagini hosil qilamiz:

U holda (2) dan

(3)

deb belgilasak,

ya`ni

(4)

Ushbu jarayonni [a,b] ga tegishli bo`lgan har bir kesmacha uchun takrorlab, (1) ning echimini ifodalovchi jadvalini to`zamiz. eyler usulining geometrik ma`nosi shundayki, bunda (1) ning yechimini ifodalovchi integral egri chiziq siniq (II) chiziqlar bilan almashtiriladi (1 - rasm).

1-rasm

Misol. Eyler usuli yordamida

differentsial tenglamaning [0,1] kesmada olingan va y (0) = 1 boshlang’ich shartni qanotlantiruvchi y(x) yechimining taqribiy qiymatlarini h =0,2 qadam bilan toping.

• Echish :

Quyidagi hisoblash jadvalini to`zamiz.

1- qator .

2 - qator.

va xakazo i =2,3,4,5 lar uchun hisoblanadi.

i

0

1

0

2

1,0000

0,2

0,4

3

1,2000

1,0000

1,3733

0,200

0,8667

4

0,6

0,7908

5

0,1733

0,8

1,5315

0,1582

1,0

0,7480

1,6811

1,8270

0,7293

0,1496

0,1459

2. RUNGE-KUTTA USULI

• Runge - Kutta usuli ko`p jihatdan Eyler usuliga o`xshash, ammo aniqlik darajasi eyler usuliga nisbatan yuqori bo`lgan usullardan biridir.
• Runge-Kutta usuli bilan amaliy masalalarni echish juda qulay. Chunki, bu usul orqali noma`lum funktsiyaning x i+1 dagi qiymatini topish uchun uning x i dagi qiymati aniq bo`lishi etarlidir. Runge-Kutta usuli uning aniqlash darajasiga ko`ra bir necha turlarga bo`linadi. Shulardan amaliyotda eng ko`p qo`llaniladigani to`rtinchi daraja aniqlikdagi Runge-Kutta usulidir.

• Birinchi tartibli y=f(x,y) differentsial tenglama uchun x=x i ( i=0,1,2,…n ) y=y i ma`lum bo`lsin. Bu yerda y i boshlang’ich shart ma`nosida bo`lmasligi ham mumkin. Noma`lum funktsiya y ning x=x i+1 dagi qiymati y i+1 =y i+1 (x) ni topish uchun quyidagi ketma-ket hisoblash jarayonini amalga oshirmoq lozim bo`ladi:

bu yerda

- integrallash qadami .

• Tenglamaning yechimi qidirilayotgan [a,b] kesma

nuqtalar bilan o`zaro teng n ta bo`lakka bo`lingan.

ning har bir qiymati uchun (1) va (2) dagi amallarni bajaramiz va noma`lum funktsiya ning qiymatlarini (tenglamaning yechimini) quyidagi formuladan topamiz:

• Misol: Runge-Kutta usuli bilan

tenglamaning kesmada aniqlangan va

boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini h =0,1 qadam bilan hisoblang.

• Echish:

,

va hokazo.

Qiymatlar jadvali

i

0

1

1,8

2

2,6

i

1,9

2,0259

2,0

6

3

2,4

4

3,0408

2,1

7

2,5

3,9260

8

5

3,2519

2,2

3,4861

2,6

4,1478

9

2,3

4,3700

3,4861

2,7

10

2,8

4,5971

4,9172

Savollar

1. Eyler usuli ifodasini izohlang.

2. Eyler usulining geometrik ma`nosi.

3. Runge – Kutta usuli yordamida differentsial tenglamalar qanday yechiladi?

4. Runge – Kutta usulining asosiy formulalarini ayting?