Ферми- и Бозе- частицы. Принцип Паули.

Физика атома, атомного ядра и элементарных частиц

15 (0). Ферми- и Бозе- частицы. Принцип Паули.

Принцип тождественности одинаковых частиц.

Элементарные частицы, в частности, электроны обладают удивительной особенностью: они аб-солютно тождественны, т.е. ничем не отлича-ются друг от друга. Если в некоторой системе мы поменяем местами, например, два электро-на, переставив один на место другого, то такая перестановка не приведет ни к каким изменени-ям и не сможет быть обнаружена эксперимен-тально. В этом заключается принцип тождест-венности, или неразличимости одинаковых час-тиц, из которого следуют очень важные выво-ды.

Рассмотрим, например, систему из двух частиц. Пусть состояние этой системы описывается волновой функцией , где x – сово-купность всех декартовых координат части-цы. Переставим частицы местами. Система частиц после перестановки, согласно прин-ципу неразличимости, не отличается от ис-ходной системы. Поэтому

(15.1)

или (15.2)

Т.е. волновая функция либо не меняется при пере-становке частиц (такая функция называется сим-метричной ), либо меняет знак (такая функция на-зывается антисимметричной ). Соответственно существует два типа частиц. Одни описываются симметричными функциями, называются бозе-час - тицами (коротко бозонами ) и подчиняются статис - тике Бозе - Эйнштейна (Bose Sh., Einstein A.) . Ре - зультаты экспериментов показывают, что к бозо - нам принадлежат частицы, имеющие спин, равный целому ћ или нулю (фотоны, пи-мезоны, альфа-частицы и др.).

Другие элементарные частицы описываются анти - симметричными функциями , называются ферми-частицами (коротко фермионами ) и подчиняют - ся статистике Ферми - Дирака (Fermi E., Dirac P. ). Фермионами являются все частицы, имеющие полуцелый спин (протоны, нейтроны, мю-мезоны, кварки, и др.), а также электроны, которые в этом курсе нас интересуют больше всего.

Для систем из ферми-частиц (в частности из элект - ронов) имеет место один из важнейших принци - пов квантовой механики – принцип Паули, или принцип исключения.

Принцип Паули (Pauli W., 1925 г )

Рассмотрим этот принцип сначала на простей-шем примере – системе из двух электронов. Пусть первый электрон находится в состоянии A , а второй в состоянии B . Т.к. электроны не-различимы, то

или

где выбран знак “–“, т.к. электроны описываются антисимметричными функциями.

С другой стороны, волновую функцию системы электронов можно представить в виде произ-ведения волновых функций отдельных элек-тронов:

Т.к. электроны неразличимы, то невозможно ус-тановить, какая из функций или

описывает состояние системы в любой данный момент времени.

Можно сказать, что состояние системы описы-вается обеими волновыми функциями с рав-ной вероятностью; или по-другому: система половину времени проводит в состоянии

, а половину времени в состоянии

. Это означает, что на самом деле состояние рассматриваемой системы должно описываться линейной комбинацией обеих волновых функций, причем эта комбинация должна быть антисимметрична (т.е. менять знак при перестановке частиц).

"Истинная" волновая функция рассматриваемой системы должна иметь вид:

(15.3)

Отсюда следует, что если A = B , то Ψ = 0. Други-ми словами, вероятность пребывания системы в состоянии A = B равна нулю.

Итак, оба электрона не могут одновременно находиться в одинаковых состояниях, т.к. в этом случае Ψ = 0.

Полученный результат легко обобщить на систе-му из N тождественных частиц. Состояние та-кой системы описывается произведением фун-кций:

(15.4)

причем при перестановке любой пары частиц (электронов) волновая функция меняет знак, но состояния, отличающиеся такими переста-новками неразличимы. Возможны N ! Таких пе-рестановок, следовательно состояние системы должно описываться линейной комбинацией всех N ! функций вида (15.4), причем эта комби-нация должна быть антисимметрична.

Существует единственная антисимметричная от-носительно любой пары частиц волновая фун-кция:

(15.5)

Перестановке двух любых частиц соответствует перестановка двух столбцов определителя; при этом сам определитель меняет знак, со-храняя свою величину.

Но если два столбца определителя окажутся оди-наковыми, то волновая функция обратится в нуль. Т.е. две частицы (два электрона) не могут находиться в одинаковых состояниях (вероят-ность этого равна нулю, т.к. волновая функция равна нулю). Это и есть один из важнейших принципов атомной физики, установленный Па-ули в 1925 г: “В любой физической системе (в частности, в атоме) не может существовать двух электронов в одном и том же состоянии.” Принцип Паули справедлив не только для сис-тем из электронов, но и из любых ферми-час-тиц, в частности для протонов и нейтронов в яд-ре, кварков в протоне и нейтроне и т.д.

Состояние любого электрона в атоме может быть полностью охарактеризо-вано четверкой квантовых чисел: n , l , m , m s . Поэтому принцип Паули приме-нительно к атому может быть сформу-лирован так: в атоме не может быть двух или более электронов с одинако-вой четверкой квантовых чисел.