Элективные курсы «Решение уравнений высшего порядка»

Элективные курсы «Решение уравнений высшего порядка»

Пояснительная записка.

Актуальность введения данного курса предполагает необходимость углубленного изучения решения уравнений высших степеней. Курс нацелен на выработку навыков и умений использования различных способов решения уравнений, применение которых используется в программе десятых-одиннадцатых классов на уроках физики и химии. Различия в уровне сложности, предлагаемых способов решения уравнений одного вида различными способами, позволяет учащимся успешно реализовать свои потенциальные возможности в усвоении изучаемого курса.

Различные способы решения уравнений формируют у учащихся познавательный интерес, развивают творческие способности, вырабатывают исследовательские навыки.

Поиск наиболее рационального метода решения уравнений воспитывает у учащихся способность видеть индивидуальные особенности в решении каждого уравнения, прививает не только особенности логического рассуждения , но и формирует навыки эвристического мышления.

Данный курс позволяет рассмотреть общие черты последовательного изучения материала, отмечает особенности, которые появляются на различных этапах решения уравнений при увеличении степени.

Решение уравнений от простого к сложному, с учетом дифференцированного подхода к обучению, способствует повышению качества образовательного процесса по данному курсу, и дополняет базовую программу, не нарушая ее целостности.

При изучении данного курса нужно учитывать два противоположно направленных процесса, сопровождающих обучение:

1. Постепенное возрастание степени уравнения и приемов их решения.

2. Установление разнообразных связей между различными классами уравнений, выявление общих способов при решении, закреплении более обобщенных способов уравнений.

Данный курс позволяет выделить четыре основные ступени при решении уравнений:

1.Независимое изучение основных типов уравнений;

2.Постепенное расширение изученных классов уравнений;

3.Формирует приемы решения и анализа уравнений, имеющих широкую область применения;

4.Синтез материала темы «Уравнения».

Задачи, предлагаемые в данном курсе, интересны и часто непросты в решении, что позволяет повысить учебную мотивацию учащихся и проверить их способности к математике.

Данный элективный курс будет способствовать совершенствованию и развитию важнейших математических знаний и умений, предусмотренных школьной программой, поможет оценить свои возможности по математике и более осознанно выбрать профиль дальнейшего обучения.

Методические рекомендации.

Весь процесс обучения строится на основе осознанного целеполагания с иерархией ближних (знания, умения, навыки), средних (развитие общеучебных навыков) и перспективных (развитие способностей личности, её самоопределение) целей. Осознанность такой деятельности переводит учителя из режима информирования в режим управления и сотрудничества.

Занятия рекомендуется проводить в виде построения индивидуального модуля для каждого учащегося:

- Содержание обучения по элективному курсу представляется в законченных самостоятельных индивидуальных модулях для каждого учащегося или гомогенной группы учеников. Перед формированием модуля проводится диагностика с целью создания дифференцированных групп. Модуль является методическим руководством для учителя. дидактическая цель формируется для учащегося и содержит в себе указания на объём изучаемого содержания и на уровень усвоения.

- Взаимодействие учителя и ученика осуществляется на основе, обеспечивающей осознанное достижение учащимися определённого уровня знаний по курсу.

- Построение занятий опирается на соблюдение паритетных, субъект-субъектные взаимоотношений между учителем и обучающимися по данному курсу.

Такая система организации курса ориентируется на развитие ребёнка, предполагает деятельность мотивационного типа.

1.Содержание и роль уравнений в совреме6нном школьном курсе математики.

Материал, связанный с уравнениями, составляет значительную часть школьного курса математики. Это объясняется тем, что уравнения широко используются в различных разделах математики, в решении важных прикладных задач.

Истоки алгебраических методов решения практических задач связаны с наукой древнего мира. Как известно из истории математики, значительная часть задач математического характера, решаемых египетскими, шумерскими, вавилонскими писцами-вычислителями (XX-VI вв. до н.э.), имела расчетный характер. Однако уже тогда время от времени возникали задачи, в которых искомое значение величины задавалось некоторыми косвенными условиями, требующими, с нашей современной точки зрения, составления уравнения или системы уравнений. Первоначально для решения таких задач применялись арифметические методы. В дальнейшем начали формироваться начатки алгебраических представлений. Например, вавилонские вычислители умели решать задачи, сводящиеся с точки зрения современной классификации к уравнениям второй степени. Таким образом, был создан метод решения текстовых задач, послуживший в дальнейшем основой для выделения алгебраического компонента и его независимого изучения.

Это изучение осуществлялось уже в другую эпоху сначала арабскими математиками (VI-XX вв. н.э.), выделившими характерные действия, посредством которых уравнения приводились к стандартному виду (приведение подобных членов, перенос членов из одной части уравнения в другую с переменой знака), а затем европейскими математиками Возрождения, в итоге длительного поиска создавшими язык современной алгебры (использование букв, введение символов арифметических операций, скобок и т.д.). На рубеже XVI-XVII вв. алгебра как специфическая часть математики, обладающая своим предметом, методом, областями приложения, была уже сформирована. Дальнейшее её развитее, вплоть до нашего времени, состояла в совершенствовании методов, расширении области приложений, уточнении понятий и связей их с понятиями других разделов математики. В этом процессе всё яснее становилось важность роли, которую играло понятие уравнения в системе алгебраических понятий.

Открытие координатного метода (Декарт, XVII в.) и последовавшее за ним развитие аналитическое геометрии позволили применить алгебру не только к задачам, связанным с числовой системой, но и к изучению различных геометрических фигур. Эта линия развития алгебры упрочила положение уравнения как ведущего алгебраического понятия, которое связывалось теперь уже с тремя главными областями своего возникновения и функционирования: а)уравнение как средство решения текстовых задач; б)уравнение как особого рода формула, служащая в алгебре объектом изучения; в)уравнение как формула, которой косвенно определяются числа или координаты точек плоскости (пространства), служащие его решением. Каждое из этих представлений оказалось в том или ином отношении полезным.

Таким образом, уравнение как общематематическое понятие многоаспектно, причем ни один из аспектов нельзя исключить из рассмотрения, особенно если речь идёт о проблемах школьного математического образования.

2. О трактовке понятия уравнения. Понятие уравнения относится к важнейшим общематематическим понятиям.

Анализируя приведённое математическое определение уравнения, можно выделить в нём два компонента. Первый состоит в том, что уравнение-это особого рода предикат. Второй уточняет, какого именно рода: это равенство, соединяющее два терма, причем термы также имеют определённый специальный вид. При изучении материала, относящегося к линии уравнений, оба компонента играют значительную роль.

Первый- смысловой компонент, важен прежде всего для уяснения понятия корня уравнения. Кроме того, смысловой компонент почти всегда используется при обосновании корректности того или иного преобразования уравнения.

Второй компонент относится к формальным особенностям записи, изображающей уравнение. Назовём этот компонент знаковым. Он важен в случаях, когда запись уравнения подвергается различным преобразованиям: зачастую такие преобразования производятся чисто механически, без обращения к их смыслу.

3. О классификации преобразований уравнений и их систем. Можно выделить три основных типа таких преобразований:

1) Преобразования одной из частей уравнения.

2) Согласованное преобразование обеих частей уравнения.

3) Преобразование логической структуры.

Поясним эту классификацию.

Преобразования первого типа используются при необходимости упрощения выражения, входящего в запись решаемого уравнения.

Преобразования второго типа состоят в согласованном изменении обеих частей уравнения в результате применения к ним арифметических действий или элементарных функций. Общей основой всех преобразований этого типа является логический принцип, выражающий характеристическое свойство равенства выражений: если выражение a и b равны и в выражении F(x) выделена переменная x, которая может принимать значение a, то выражения F(a) и F(b) равны: a=b→F(a)=F(b).

Преобразования второго типа сравнительно многочисленны. Они составляют ядро материала, изучаемого в линии уравнений.

Приведём примеры преобразований этого типа.

1) Прибавление к обеим частям уравнения одного и того же выражения.

2) Умножение(деление) обеих частей уравнения на одно и то же выражение.

3) Переход от уравнения a=b к уравнению f(a)=f(b), где f-возрастающая функция, или обратный переход.

К третьему типу преобразований относятся преобразования уравнений и их систем, изменяющие логическую структуру заданий. Поясним использованный термин «логическая структура». В каждом задании можно выделить элементарные предикаты- отдельные уравнения. Под логической структурой задания мы понимаем способ связи этих элементарных предикатов посредствам логических связок конъюнкции или дизъюнкции.

4. Изучение основных типов уравнений. Среди всех изучаемых в курсе математики типов уравнений, выделяется сравнительно ограниченное количество основных типов. К их числу можно отнести: линейные уравнения с одним неизвестным, системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными, квадратные уравнения, простейшие иррациональные и трансцендентные уравнения.

Введение каждого нового основного класса уравнений сопровождается введением новой области числовых выражений, входящих в стандартную форму записи ответа. Например, квадратичные иррациональности (a+b√c; a, b, c принадлежит Q) связываются с решениями квадратных уравнений.

Каждый из основных классов уравнений, систем уравнений имеет четкую, стандартную форму записи. Например, уравнений х²+x-1=0 –квадратное, а уравнение х²+x=1, равносильное первому, квадратным не является.

Смысл выделения основных классов состоит именно в том, что за счет стандартизации формы задания «общего вида» можно записать ответы к заданиям формулой (или привести простое описание процесса решения).

В результате длительного развития , как элементарной алгебры, так и методики преподавания математики было выделено несколько типов уравнений, систем уравнений, сведение которых к основным классам производится особенно просто.

Классификация «вторичных» классов уравнений обширнее, чем основных. Она включает, например, уравнения первой степени, биквадратные, алгебраические, иррациональные уравнения. По мере введения этих классов, установления соответствий между ними и основными классами возникает взаимосвязи, которыми пользуются для упрощения процесса решения.

Основные задачи и цели курса.

Цели курса:

- дать более углубленное представление о решении линейных и квадратных уравнений;

- обеспечить повышение уровня математических знаний для расширения функциональной грамотности учащихся, ориентируя их на продолжение образования в учебных заведениях с использованием математического профиля.

Данный курс решает следующие задачи:

1. Ознакомить с основными способами решения уравнений;

2. Способствовать развитию мышления учащихся, показывая связь между уравнениями различных степеней;

3. Учить выдвигать гипотезы и строить модели для решения уравнений;

4. Обеспечить основу для обучения решению уравнений высшего порядка;

5. Развить творческое и математическое мышление учащихся к предмету математики;

6. Воспитывать у учащихся устойчивый интерес к изучению математики;

7. Посредством поиска оригинальных способов решения уравнений способствовать эстетическому воспитанию учащихся, повышению их математической культуры.

Линейные и дробно рациональные уравнения.

Основная цель: сформировать умение решать уравнения, сводящиеся к линейным, систематизировать сведения о решении уравнений с одним неизвестным.

При повторении данной темы усиливается роль теоретических знаний, вводятся более сложные уравнения, учащиеся овладевают нестандартными способами решения уравнений. При решении дробных рациональных уравнений вырабатываются и закрепляются навыки нахождения области допустимых значений, вводится понятие равносильного уравнения.

I. При решении дробно-рациональных уравнений выполняется умножение обеих частей уравнения на одно и то же выражение Q(х), что может привести к появлению посторонних корней. Поэтому при решении дробно-рациональных уравнений проверка необходима. При решении рациональных уравнений основными являются следующие методы: 1) разложение на множители 2) введение новых переменных

1)

Определяем область допустимых значений х₁=0, х₂= , х₃=-

Приводим к общему знаменателю.

36х²-18х-4х²-4х-1-12х²-6х=0

20х²-28х-1=0

Решаем квадратное уравнение

D=( )-ac=196+20=216

х₁; ₂= ; х_1,2=

Ответ: х₁= ; х₂ =

Материал для самостоятельного решения

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Квадратные уравнения.

Основная цель: выработать навыки умения решать квадратные уравнения, уравнения, сводящиеся к квадратным, углубление материала путем введения новых формул, исторического материала.

Для этой темы характерна большая глубина изложения и богатство устанавливаемых с её помощью связей в обучении, логическое обоснованность изложения. Поэтому она занимает исключительное положение в линии уравнений. К изучению этой темы учащиеся приступают, уже накопив определённый опыт, владея достаточно большим запасом алгебраических и общематематических представлений, понятий, умений. В значительной мере именно на материале этой темы осуществляется синтез материала, относящегося к уравнениям.

Во всех современных школьных учебниках алгебры и термин, и объём понятия квадратного уравнения одинаковый. Понятие вводится посредствам явного определения, что обязывает организовать работу по усвоению его формальных признаков. Это тем более необходимо, что соответствующие признаки существенно используются при построении и теории квадратных уравнений, в частности при выводе формулы корней и в теореме Виета.

При изучении темы «Квадратные уравнения» рассматриваются и неполные квадратные уравнения. Обычно они изучаются перед выводом корней общего квадратного уравнения. Хотя различные виды неполных квадратных уравнений имеют разные алгоритмы решения, при изучении данной темы необходимо показать, что общая формула корней применима и для этих случаев.

Важным моментом в изучении квадратных уравнений является рассмотрение теоремы Виета, которая утверждает наличие зависимости между корнями и коэффициентами квадратного уравнения.

Владение теорией квадратных уравнений существенно расширяет возможности решения уравнений методами, изучаемыми в курсе алгебры. Так, прямо сводятся к квадратным дробно-рациональные уравнения вида и биквадратные уравнения.

Ещё один класс составляют алгебраические уравнения, которые разложением на множители могут быть сведены к линейному и квадратному уравнениям. Богатство и разнообразие приёмов, имеющихся у учащихся, овладевших сведением различных уравнений к квадратным, служат необходимой предпосылкой перехода к завершающему этапу освоения методов решения уравнений.

В целом можно сказать, что освоение темы «Квадратные уравнения» поднимает учащихся на качественно новую ступень овладения содержание школьной математики.

В данном разделе уделяется внимание повторению и закреплению решения уравнений вида ах+bх+с=0, используя формулы при коэффициенте b — четном и нечетном, метод выделения квадрата двучлена из трехчлена.

Решение уравнений тесно связанно с разложением его левой части на множители, рассматриваются и углубляются знания при решении уравнений с использованием нетрадиционных формул, не встречающихся в программном курсе:

1. Уравнения вида х+2х+1=0, х+3х+1=0;

2. Сумма коэффициентов равна нолю. а+b+с=0;

3. Коэффициент b равен сумме первого и свободного коэффициентов. b=а+с;

В данном разделе используется исторический материал о решении квадратных уравнений, формируются навыки решения уравнений, сводящихся к квадратным.

II. Уравнения, приводимые к квадратным.

Правило решения квадратных уравнений, приводимых к виду ах²+bх+с=0, а0 дал индийский ученый Брахмагупта (VIII в). Общее правило решения квадратных уравнений, приводимых к виду ах²+bх+с=0 было сформулировано немецким математиком М. Штифелем.

1. Введение новой переменной

х(х+3)(х+1)(х+2)=5040

группируем (х(х+3))((х+1)(х+2))=5040

(х²+3х)(х²+3х+2)-5040

Вводим новую переменную и решаем полученное уравнение

x²+3х=а (1)

а(а+2)-5040=0

а²+2a-5040=0

а₁=-72, а₂=70

подставляем значения корней в уравнение (1):

1. х²+3х=-72 2) х²+3х=70

х²+3х+72=0 х²+3х-70=0

корней нет х₁=-10, х₂=7

1. (х²-2х)²-3х²+6х-4=0

Группируем

(х²-2х)²-(3х²-6х)-4=0

(х²-2х)²-3(х²-2х)-4=0

Вводим новую переменную и решаем полученное уравнение

x²-2х=b

b²-3b-4=0

b₁=4, b₂=-1

подставляем полученные корни

1. x²-2х=4 2) x²-2х =-1

x²-2х-4=0 x²-2х+1=0

х₁,₂= D=0, х₃=1

Материал для самостоятельного решения

1. (х+1)²(х²+2х)=12

2. (х²-2х)-3х²+6х-4=0

3. (х²-3х)-14(х²-3х)+40=0

4. (2х²+3х-1)²-5(2х²+3х)+9=0

5. (х-2)(х-3)²(х-4)=20

6. (х²-3х)(х-1)(х-2)=24

7. (х²-5х)(х+3)(х-8)+108=0

8. (х+4)²(х+10)(х-2)+243=0

9. х(х+4)(х+5)(х+9)+96=0

10. х(х+3)(х+5)(х+8)+56=0

11. (х-4)(х-3)(х-2)(х-1)=24

12. (х-3)(х-4)(х-5)(х-6)=1680

Уравнения третьей степени.

Основная цель: обобщить имеющиеся у учащихся сведения и знания о решении уравнений третьей степени в программном курсе, углубить материал, используя методы решения вне школьной программы девятого класса. Решение уравнений третьей степени предваряется историческим материалом о нахождении формулы, позволяющей решать кубические уравнения. Повторяется и закрепляется материал из школьной программы девятого класса, предлагается решение уравнений третьей степени способом группировки, разложением на множители левой части уравнения. Рассматриваются способы решения данных уравнений, способствующие углублению материала:

1. Способ подбора рационального корня с целым коэффициентом и делением левой части на (х-h) по «схеме Горнера»;

2. Способ решения уравнения при свободном коэффициенте k=1 и k=-1, введением новой переменной.

III. Уравнения третьей степени.

Первым формулу для решения кубического уравнения нашел профессор Болонского университета Сципион дель Ферро. Свой способ решения он изложил в рукописи, которую передал своему зятю и приемнику по кафедре Аннибалу делла Наве. Этот же способ он сообщил и своему ученику Антонио Фиоре, который использовал его при решении задач на кубические уравнения для участия в публичных математических поединках и диспутах.

1. Метод разложения на множители

а) х³-3х²+2х=0

х(х²-3х+2)=0

х₁=0 или х²-3х+2=0

D=1

x₂=2

х₃= 1

b) х³-3х²-х+3=0

(х³-3х²)-(х-3)=0

x²(x-3)-(x-3)=0

(х-3)(х²-1)=0

х-3=0 или х²-1=0

х₁=3 х²=1

x₂=1, х₃=-1

2. Метод подбора

x³+4х²-24=0.

Находим методом подбора целый корень уравнения х=2 выполним деление

^{x 3}+4х²-24 х-2

^{х 3}-2х² х²+6х+12

6х²+0

6х²-12х

12х-24

12х-24

0

Раскладываем трехчлен на множители:

х³+4х²-24=(х-2)(х²+6х+12)

Правую часть приравниваем к нулю и решаем уравнение:

(х-2)(х²+6х+12)=0

х-2=0 или х²+6х+12=0

х₁=0 D=-3

корней нет

3. Уравнение 21х³+х²-5х-1=0 левая часть которого представляет собой многочлен с целым коэффициентом и свободным членом равным 1 или -1, легко преобразуется в приведенное уравнение с помощью почленного деления на х в старшей степени и последующей заменой на у.

21х³+х²-5х-1=0 (:х³)

Получаем:

Полагаем =у (1), приходим к уравнению 21+у-5у²-у³=0

у³+5у²-у-21=0

Находим методом подбора целый корень уравнения у=-3 и разделим на двучлен у+3

^{у 3}+5у²-у-21 у+3

^{у 3}+3у² у²+2у-7

2у²-у

2у²-6у

-7у-21

-7у-21

0

Раскладываем многочлен на множители

У³+5у²-у-21=(у+3)(у²+2у-7)

Правую часть приравняем к нулю

(у+3)(у²+2у-7)=0

у+3=0 или у²+2у-7=0

у₁=-3 или D=1+7=8

y₁;₂=

Полученные подставляем в (1) =y

= x₂,₃=

2) =-3 x₁=-

Дополнительные задания для самостоятельной работы

х³+9х²+23х+15=0

х³+4х²-2х-8=0

3х³+2х²-8х+3=0

3х³+5х²+5х+3=0

11х³+3х²-6х-8=0

38х³+7х²-8х-1=0

4х³+6х²+4х+1=0

8х³-6х²+3х-1=0

27х³-15х²+5х-1=0

Уравнения четвертой степени.

Основная цель: отработать навыки решения биквадратного уравнения, углубить материал, познакомить с историческими сведениями о появлении формул для решения уравнений.

Ведется ознакомление учащихся с методами, не входящими в курс школьной программы 9 класса:

1. Преобразование не приведенного уравнения к приведённому;

2. Метод введения новой переменной;

3. Способ решения уравнения при k=1; k=-1;

IV. Уравнения высших степеней.

Уравнения четвертой степени в ХVI веке учеником Lжироламо Кардано Лодовико (Луиджи Феррари).

1) Разложение на множители:

x⁴+2х³-х-2=0

(х⁴+2х³)-(х+2)=0

x³(х+2)-(х+2)=0

(х³-1)(х+2)=0

x³-1=0 или х+2=0

х³=1 или х₂=-2

х₁=1

2) х⁴+5х³+2х²+1=0

В данном уравнении свободный член и целый коэффициент равны между собой.

С помощью почленного деления на х в старшей степени и введением новой переменной, получаем:

x⁴+5х³+2х²+1=0 (:х²)

х²+5х+2+5+1=0

(х²+1)+(5х+5)+2=0

(х²+1)+5(х+1)+2=0

x²+1=у²-2 (1)

Положим х+1=у (2)

Заменим (х+1) на (у²-2) в уравнении (1)

Решаем квадратное уравнение.

y²-2+5у+2=0

^y+5у=0

у(у+5)=0

у₁=0 или у+5=0

у₂=-5

Полученные корни подставляем в уравнение (2)

1) х+ =0 ОДЗ: x ≠ 0. 2) x + = -5; x≠ 0.

х²+5х+1=0 х 0

х²+1=0 D=27

х² -1 х 0 х₁,₂=

корней нет

Возвратные уравнения

Основная цель: ознакомить учащихся с возвратными, симметрическими и кососимметрическими уравнениями, ввести основные способы решения уравнений высших степеней путем использования изученных методов решения уравнений.

3х⁴-2х3+4х²-4х+12=0

В данном уравнении отношение первого коэффициента к свободному члену и квадрат отношения второго коэффициента к предпоследнему равны между собой.

Уравнение вида: ах⁴+bх³+сх²+dх+с=0

Называется возвратным, если существует число =0, такое, что коэффициенты уравнения равноудалены от концов, удовлетворяют условию.

d=b; e=²a;

3х⁴-2х3+4х²-4х+12=0

Разделим обе части уравнения на х²

2х²+3х-13- + =0

И далее группируем

(1)

Положим: =y =y²+4 заменим в уравнении (1)

2(у²+4)+3у-13=0

2у²+8+3у-13=0

2у²+3у-5=0

Находим корни уравнения:

D=49

y₁= 1; y₂ = -2,5

Задача свелась к решению совокупности уравнений:

1. =-1 ОДЗ: х = 0;

x²-x-2=0

D=9

x₁= 2; х₂=-1;

2. =-2,5 ОДЗ: x=0;

2x²+5х-4=0

D=57

x₃;₄=

Уравнения пятой степени.

4) 2х⁵+х⁴-10х³-5х²+8х+4=0

(2 х⁵+ х⁴)-(10 х³+5 х²)+(8х+4=)0

х⁴(2х+1)-5х²(2х+1)+4(2х+1)=0

(2х+1)(х⁴-5х²+4)=0

2х+1=0 х⁴-5х²+4=0

2х=-1 х=а a²-5а+4=0

x=- 0,5 D=25-16=9

х₁= =4

x₂= =1

х⁵+4х⁴-3 х³+3 х²-4x=0

^{х 5}+4х⁴-3 х³+3 х²-4x x-1 х⁴+5х³+2х²+5x+1=0 (:х²)

^{х 5}-х⁴ х⁴+5х³+2х²+5x+1 Получаем: х²+5x+2+5+1=0

5х⁴-3х³ Группируем (х²+1)+(5x+x)+2=0

5х⁴-5х³

2х³-4х² Вводим новую переменную,

2х³-2х² обозначив

5х²-4x x-1=a

5х²-5x Подставляем

x-1 a²-2+5a+2=0

x-1 a²-5a=0

0 a(a-5)=0

a₁=0 или a-5=0

a₂=5=5

Полученные значения корней

подставляем в уравнение

х+1=0 х+1=5

х²+1=0 х²-5х+1=0

х²=-1 D=21

Решений нет х₁;₂=

Дополнительные задания для самостоятельной работы

1) х⁴+8х³+5х²+8х+4=0

2) х⁴+10х³+26х²+10х+1=0

3) х⁴-5х³+2х²-5х+1=0

4)3х⁴+7х³+7х²+3=0

5) 2х⁴+9 х³+9х+2=0

6) х⁵+4х⁴-3х³+3х²-4х-1=0

7) х⁵-2х⁴-4х³+ 4х² -5х+6=0

8) 15х⁵+34х⁴+15х³-15х²-34х-15=0

9) 3х⁵+10х⁴ +7х³+7х²+10х+3=0

10) х⁵-4х⁴+4х³-х²+4х-4=0

11) х⁵+4х⁴-6х³-24х²-27х-108=0

12) х⁶+3х⁵+6х⁴+7х³+6х²+3х+1=0

Тематически план.

1. Линейные уравнения - 1 час;

2. Дробно рациональные уравнения - 1 час;

3. Квадратные уравнения - 1 час;

4. Уравнения, приводимые к квадратным - 1 час;

5. Уравнения третьей степени:

а) способ разложения на множители, способ группировки -1 час;

б) метод подбора рационального корня с целым коэффициентом - 1 час;

в) введение новой переменной - 1 час;

6. Возвратные уравнения - 3 часа;

7. Симметрические уравнения - 2 часа;

8. Кососимметрические уравнения - 2 часа;

9. Обобщающий урок по данной теме - 1 час;

10. Срез знаний по изученному материалу - 1 час.

Литература

Для учителя:

1. Журнал «Математика в школе»

2. «Методика преподавания математики в средней школе» Мишин В. И.

3. «Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7-9 классов» Кострикина Н. П.

4. «Алгебра и математический анализ 10 класс»Виленкин Н. Я.

Для учащихся:

1. «Повторим математику» Шувалов Э. З.

2. «Практикум по элементарной математике» Литвиненко В. Н.

3. «Практикум по решению математических задач» Вересов Е. Е.

4. «Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7-9 классов»

Кострикина Н. П.

5. «Алгебра и математический анализ 10 класс» Виленкин Н. Я.

27