Арифметическая прогрессия

Цель:

образовательная:

1) обобщение и систематизация теоретического материала по данной теме.

2) отработка умений и навыков применения формул n-го члена прогрессии, суммы n первых членов, свойств  членов прогрессии.

3) развивать умения и навыки применять формулы прогрессии при решении задач

развивающая:

1) развитие навыков работы с дополнительной литературой, с историческим материалом.

2) развивать познавательную активность учащихся

3) учить  видеть связь между математикой и окружающей жизнью

4) прививать навыки самостоятельности

5) формировать интерес к изучению математики, расширить кругозор учащихся

воспитательная: воспитание эстетических качеств и умения общаться

1. Сообщение темы и цели урока:

(Слайд 2)

Эпиграф:   при изучении наук, примеры не менее поучительны, нежели правила.

  (И. Ньютон)

1. Обратить внимание на раздаточные листы. Подписать их.

            Установка рабочего состояния на начало урока (по рабочим листам)               

            (приложение 1)

2. Постановка проблемы

В учебнике Л.Ф. Магницкого (1703г.)  «Арифметика»,  изданном 200 лет назад,  по которому целых полвека учились дети, много интересных, занимательных задач. Вот условие некоторых из них. ( слайд 3)

Некто продал лошадь за 156 рублей. Но покупатель, приобретя лошадь, раздумал её покупать, и возразил продавцу – «Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит». Тогда продавец предложил другие условия: «Если, по – твоему, цена лошади высока, то купи только её подковные гвозди, лошадь же тогда получишь бесплатно, в придачу. Гвоздей в каждой подкове – шесть. За первый гвоздь дай мне всего четверть копейки, за второй полкопейки, за третий одну копейку и т.д.» покупатель, соблазненный низкой ценой и, желая получить даром лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более 10 рублей. На сколько покупатель проторговался?

Что знакомого мы встретили в условии задачи? (последовательность оплаты гвоздей)

Или  (слайд 4)

Лестница имеет 100 ступеней. На первой ступени сидит один голубь, на второй – два, на третьей – три, так на всех ступенях. Сколько всего голубей?

Что знакомого мы встретили в условии задачи? (последовательность расположения голубей)

3. Повторение теории (слайд 5)

Устная работа по теме «Последовательности»

1). Дать определение последовательности

(Числа, записанные в определенном порядке, по некоторому правилу, являются последовательностью)

2). Виды последовательностей

(конечные, бесконечные, повторяющиеся)

3). Способы задания последовательности

а) формулой n-го члена;    б) описание;     в) рекуррентной формулой;

Практические устные задания. (Задания на доске)

1--. 1; 3; 5; 7; 9; 11;… :    Верно ли, что это арифметическая прогрессия? Почему?

Ожидаемый ответ: да, так как выполняется определение А.П., т.е. каждый последующий член отличается от предыдущего на 2.

Как называется число 2? Ожидаемый ответ: разность А.П.

2--.  1; 4; 9; 16; 25;… :    Верно ли, что это арифметическая прогрессия? Почему?

Ожидаемый ответ: нет, так как не выполняется определение А.П., т.е. каждый последующий член отличается от предыдущего на разное число единиц.

3--. в_n+1 = в _n + 5 . Верно ли, что это рекуррентная формула задания арифметической прогрессии?

Ожидаемый ответ: да

4--. Назвать разность арифметической прогрессии  25, 21, 17,:

Ожидаемый ответ: -4

5--. Назвать второй член прогрессии а₁=2; d=5.

Ожидаемый ответ: 7

6--. Найти первый член арифметической прогрессии, заданной формулой a_n = 3 - 4n.

Ожидаемый ответ: -1

Вернемся к задаче про голубей.

Рассмотрим последовательность расположения птиц из задачи: 1, 2, 3, 4, …99, 100.

Какова закономерность расположения этих чисел?   (каждое последующее больше предыдущего на 1)

Является ли эта последовательность А.П.? 

Постараемся найти сумму всех птиц на лестнице.

Какими способами это можно сделать? (пересчитать последовательно, увидеть закономерность в расчете, вывести формулу суммы)

Необходима формула суммы n-первых членов А.П.

Тема урока (записываем в тетрадь): Сумма n-первых членов А.П.

4. Новый материал

Работа с учебником: (в рабочих листах заполнить теоретический материал)

 - Определение А.П.,

Арифметической прогрессией называется последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом.

 -  разность А.П.,

Число d, с которым складывают члены последовательности, называется разностью

 - формула n-го члена А.П.

a_n = a₁ + d( n – 1 )

- формула (1) суммы n- первых членов А.П. (вывод записать в рабочих тетрадях)

- формула (2) суммы n- первых членов А.П.  

5. Закрепление изученного материала

1) Найти сумму всех птиц на лестнице.

2) Работа в тетрадях: (задания в учебнике)

№603(а)  

№604(а)

№ 605(а)

3) самостоятельная работа по раздаточным листам с последующей проверкой:

выбрать вид работы, подходящий каждому ученику – тест или упражнения – смотри архив

6. Итоги урока: рефлексия по раздаточным листам
7. Домашняя работа

П.26, формулы, примеры,

№603(б), №605(б), №604(б),

Повторение №600.

Найти 2 задачи на применение А.П. в жизни, приготовить их решение на отдельном листе.

Задача

Как известно из медицинской статистики, одна выкуренная сигарета сокращает жизнь человека на 10 минут. Вычислите, сколько сигарет в среднем сократят жизнь человека на 1 день. (144 сигареты).